Mathématiques au collège La Charme

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Ceci est le blog professionnel de Fabrice ARNAUD prof de mathématiques au collège La Charme à Clermont-Ferrand.

Pour réviser l’épreuve de mathématiques du brevet blanc

2010 janvier 14

par Fabrice ARNAUD

Mercredi 27 janvier 2010, vous allez passer 2h sur une épreuve blanche de brevet.
Pour vous aider à réviser voici une page intéressante de mon blog perso.

http://pi314159.wordpress.com/2010/01/12/reviser-lepreuve-de-mathematiques-du-brevet/

Travail de recherche : les équations de degré 2

2010 janvier 11

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par Fabrice ARNAUD

Voici le travail de recherche proposé aux élèves de troisièmes pendant les vacances de Noël

Et ci-dessous ma correction …

—

L’objectif de ce problème est de vous montrer comment on peut résoudre les équations de degré 2 en utilisant les identités remarquables.

Une équation de degré 2 est une équation du type $5x^2+3x+5=0$ où $x$ est au maximum à la puissance 2.

Partie I – Les équations produits

Vous savez résoudre les équations suivantes :

1. Résoudre :

$(x-5)(x+4)=0$

Ce produit est nul si l’un des facteur est nul

$x-5=0$ ou $x+4=0$

$x=5$ ou $x=-4$

Il y a donc deux solutions : $5$ et $-4$

$(2x-7)(5x-1)=0$

Ce produit est nul si l’un des facteurs est nul

$2x-7=0$ ou $5x-1=0$

$2x=7$ ou $5x=1$

$x=\dfrac{7}{2}$ ou $x=\frac{1}{5}$

$x=3,5$ ou $x=0,2$

Il y à nouveau deux solutions : $3,5$ et $0,2$

$(x-1)^2=0$

$x-1=0$

$x=1$

Il y a une solution : $1$

2. Développer, réduire et ordonner chacune des expressions suivantes :

$f(x)=(x-5)(x+4)=x^2+4x-5x-20=x^2-x-20$

$g(x)=(2x-7)(5x-1)=10x^2-2x-35x+7=10x^2-37x+7$

$h(x)=(x-1)^2=x^2-2x+1$

3. Factoriser les expressions suivantes :

Les trois expressions ci-dessous ne seraient pas faciles à factoriser si nous n’avions pas fait la question précédente. Nous ne sommes en effet pas dans le cas d’un facteur commun ou de l’identité remarquable $a^2-b^2$

Cependant on peut écrire évidemment :

$x^2-x+20=(x-5)(x+4)$

$10x^2-37x+7=(2x-7)(5x-1)$

$x^2-2x+1=(x-1)^2$

Partie II – Factoriser une équation de degré 2

D’après la partie précédente, si on veut résoudre l’équation $x^2-x+20=0$ , il suffit de remarquer que

$(x-5)(x+4)=x^2-x+20$ puis de résoudre l’équation produit $(x-5)(x+4)=0$ pour trouver les deux solutions $5$ et $-4$ .

Mais comment faire pour résoudre $x^2-2x-35=0$ quand on a pas la factorisation ?

1. Développer et réduire $(x-1)^2-1$ . Que remarquez vous ?

$(x-1)^2-1=x^2-2x+1-1=x^2-2x$

On remarque que $(x-1)^2-1$ est le début de l’expression $x^2-2x-35$

2. Développer et réduire $(x-1)^2-1-35$

$(x-1)^2-1-35=x^2-2x-35$

3. En remarquant que $(x-1)^2-1-35=(x-1)^2-36$ , factoriser cette expression.

$(x-1)^2-1-35=(x-1)^2-36=(x-1)^2-6^2$

$(x-1)^2-6^2=[(x-1)+6][(x-1)-6]=(x-1+6)(x-1-6)=(x+5)(x-7)$

4. Développer pour vérifier $(x-7)(x+5)$ puis résoudre l’équation $x^2-2x-35=0$

$(x-7)(x+5)=x^2+5x-7x-35=x^2-2x-35$

Pour résoudre $x^2-2x-35=0$ je résouds $(x-7)(x+5)=0$

Ce produit est nul si l’un des facteurs est nul

$x-7=0$ ou $x+5=0$

$x=7$ ou $x=-5$

On peut même vérifier en remplaçant dans $x^2-2x-35$

$7^2-2\times 7-35=49-14-35=0$

$(-5)^2-2\times (-5) -35=25+10-35=0$

C’est bon !!!

Partie III – Un autre exemple

On veut résoudre $x^2+4x-96=0$

1. Développer et réduire $(x+2)^2-4$

$(x+2)^2-4=x^2+4x+4-4=x^2+4x$

2. Factoriser $(x+2)^2-4-96$

$(x+2)^2-4-96=(x+2)^2-100=(x+2)^2-10^2$

$(x+2)^2-10^2=[(x+2)+10][(x+2)-10]=(x+2+10)(x+2-10)=(x+12)(x-8)$

3 Résoudre $x^2+4x-96=0$

$x^2+4x-96=0$

$(x+12)(x-8)=0$

Ce produit est nul si l’un des facteurs est nul

$x+12=0$ ou $x-8=0$

$x=-12$ ou $x=8$

Il y a deux solutions $x=-12$ et $x=8$

Partie IV – Avez-vous compris ?

1. Essayer de résoudre en suivant la même méthode : $x^2-6x+16=0$

$x^2-6x+16$ commence comme $(x-3)^2=x^2-6x+9$

Donc $(x-3)^2-9=x^2-6x$ et $(x-3)^2-9+16=(x-3)^2+7=x^2-6x+16$

Cependant $(x-3)^2+7$ ne peut pas se factoriser avec l’identité remarquable $a^2-b^2$

Il n’y a donc pas de solution à cette équation !

2. Faire de même avec : $x^2-10x+25=0$

$x^2-10x+25=(x-5)^2$

Donc l’équation $x^2-10x+25=0$ revient à résoudre $(x-5)^2=0$ c’est à dire $x-5=0$

Il y a une solution $x=5$

3. Terminer avec l’équation de degré $2$ de votre choix !!

Résolvons ensemble $x^2+4x-45=0$

$x^2+4x-45$ commence comme $(x+2)^2=x^2+4x+4$

Donc $x^2+4x-45=(x+2)^2-4-45=(x+2)^2-49=(x+2)^2-7^2$

On peut donc factoriser ainsi

$[(x+2)+7][(x+2)-7]=(x+9)(x-5)$

Il y a donc deux solutions $x=-9$ et $x=5$

Résolvons pour finir $x^2+8x+10=0$

$x^2+8x+10$ commence comme $(x+4)^2=x^2+8x+16$

$x^2+8x+10=(x+4)^2-16+10=(x+4)^2-6$

Or $6=(\sqrt{6})^2$

On a donc

$(x+4)^2-6=(x+4)^2-\sqrt{6}^2=[(x+4)+\sqrt{6}][(x+4)-\sqrt{6}]$

$(x+4)^2-6=(x+4+\sqrt{6})(x+4-\sqrt{6})$

$(x+4+\sqrt{6})(x+4-\sqrt{6})=0$

Ce produit est nul si l’un des facteurs est nul

$x+4+\sqrt{6}=0$ ou $x+4-\sqrt{6}=0$

$x=-4-\sqrt{6}$ ou $x=-4+\sqrt{6}$

Ouh ! Difficile non ? :-))

Mes voeux de réussite pour 2010

2010 janvier 1

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par Fabrice ARNAUD

Le défi pour préparer le nouvel an

2009 novembre 27

11 commentaires

par Fabrice ARNAUD

En l’honneur du nouveau millésime et par soucis d’économie en cette période de crise je vous propose d’obtenir une expression numérique dont la valeur est le nombre $2010$ en dépensant le moins possible de symboles. Je m’explique :

Vous pouvez utiliser les chiffres $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ et $9$ (tous sauf ceux présents dans $2010$ ) voici leurs tarifs :

Chiffre $3$ : 3€

Chiffre $4$ : 4€

Chiffre $5$ : 5€

…

Chiffre $9$ : 9€

Seuls des opérations utilisant les nombres entiers sont acceptés.

Vous pouvez utiliser les 4 opérations : $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ . Chacune coûte 1€.

Un parenthèse ouvrante ou fermante coûte 1€, une barre de fraction aussi.

La mise en puissance vaut aussi 1€, la racine carrée également.

Je vous propose même une dernière opération à 1€, la factorielle que l’on note $!$ . Elle est simple a comprendre :

$2!=1\times 2=2$

$3!=1\times 2\times 3=6$

$4!=1\times 2\times 3\times 4=24$

…

A vous de jouer et de réussir à écrire la formule la plus économique.

Allez, je commence, ferez-vous mieux que moi ??

$888 \times 3 -654=2010$

Prix : $8+8+8+1+3+1+6+5+4=44$

Mise à prix 44€. Qui dit moins ?

—

Allez voir les commentaires, en date du samedi 28 novembre, Vincent de 3.4 est en tête avec 18€

Et dimanche 29 novembre, Thibault de 3.4 nous annonce 16€. Qui dit moins ?

Quelques biographies de mathématiciens contemporains

2009 novembre 12

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par Fabrice ARNAUD

Voici quelques portraits de grands mathématiciens de notre temps. Que les curieux n’hésitent pas cliquer sur une de ces images pour lire leurs histoires souvent extraordinaires. Puis votez pour votre mathématicien préféré !

Et maintenant votez !

	Fabrice ARNAUD sur Pour réviser l’épreuve d…
	kalatoumi sur Pour réviser l’épreuve d…
	Nouaouria Beya sur Cahier de texte 3.4
	Nouaouria Beya sur Cahier de texte 3.4
	khaid addi sur Cahier de texte 3.4

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Travail de recherche : les équations de degré 2

Partie I – Les équations produits

1. Résoudre :

2. Développer, réduire et ordonner chacune des expressions suivantes :

3. Factoriser les expressions suivantes :

Partie II – Factoriser une équation de degré 2

1. Développer et réduire $(x-1)^2-1$ . Que remarquez vous ?

2. Développer et réduire $(x-1)^2-1-35$

3. En remarquant que $(x-1)^2-1-35=(x-1)^2-36$ , factoriser cette expression.

4. Développer pour vérifier $(x-7)(x+5)$ puis résoudre l’équation $x^2-2x-35=0$

Partie III – Un autre exemple

1. Développer et réduire $(x+2)^2-4$

2. Factoriser $(x+2)^2-4-96$

3 Résoudre $x^2+4x-96=0$

Partie IV – Avez-vous compris ?

1. Essayer de résoudre en suivant la même méthode : $x^2-6x+16=0$

2. Faire de même avec : $x^2-10x+25=0$

3. Terminer avec l’équation de degré $2$ de votre choix !!

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1. Résoudre :

2. Développer, réduire et ordonner chacune des expressions suivantes :

3. Factoriser les expressions suivantes :

Partie II – Factoriser une équation de degré 2

1. Développer et réduire . Que remarquez vous ?

2. Développer et réduire

3. En remarquant que , factoriser cette expression.

4. Développer pour vérifier puis résoudre l’équation

Partie III – Un autre exemple

1. Développer et réduire

2. Factoriser

3 Résoudre

Partie IV – Avez-vous compris ?

1. Essayer de résoudre en suivant la même méthode :

2. Faire de même avec :

3. Terminer avec l’équation de degré de votre choix !!

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1. Développer et réduire $(x-1)^2-1$ . Que remarquez vous ?

2. Développer et réduire $(x-1)^2-1-35$

3. En remarquant que $(x-1)^2-1-35=(x-1)^2-36$ , factoriser cette expression.

4. Développer pour vérifier $(x-7)(x+5)$ puis résoudre l’équation $x^2-2x-35=0$

1. Développer et réduire $(x+2)^2-4$

2. Factoriser $(x+2)^2-4-96$

3 Résoudre $x^2+4x-96=0$

1. Essayer de résoudre en suivant la même méthode : $x^2-6x+16=0$

2. Faire de même avec : $x^2-10x+25=0$

3. Terminer avec l’équation de degré $2$ de votre choix !!