Les nombres amiables
Pensez à lire l’article sur les nombres parfaits pour comprendre la suite.
Voici les diviseurs de 220 et 284.
| Nombre | Liste des diviseurs | Somme des diviseurs propres |
| 220 | 1 – 2 – 4 – 5 – 10 – 11 – 20 – 22 – 44 – 55 – 110 – 220 | 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 |
| 284 | 1 – 2 – 4 – 71 – 142 – 284 | 1+2+4+71+142=220 |
La somme des diviseurs propres de 220 vaut 284 et réciproquement.
De tels couples de nombres sont dits amiables ou amicaux.
Une coutume de numérologiste arabe consistait à écrire 220 sur un fruit et 284 sur un autre.Il fallait ensuite manger un des fruits et donner l’autre à la personne aimée. Ces deux nombres sont restés des symboles d’amour au moyen-âge
On connait à ce jour de nombreuses paires de nombres amiables.
En voici quelques unes :
| Premier nombre | Second nombre |
| 220 | 284 |
| 1184 | 1210 |
| 2620 | 2924 |
| 5020 | 5564 |
| 6032 | 6368 |
On connaît 42 paires inférieures à 10 000 000. On ne sait pas s’il en existe une infinité. On en a trouvé environ 7500.
1 175 265 et 1 438 983 forment le plus petit couple de nombre amicaux connu.
On a pas encore trouvé de couple formé d’une nombre pair et d’un autre impair.
La recherche des couples amiables a occupé de nombreux mathématiciens célèbres au cours de l’histoire. Le couple 17 296 et 18 416, dit couple de Fermat, est en fait découvert dès le XIII ème siècle par Al-Farisi. Le couple 9 363 584 et 9 437 056, dit couple de Descartes, est présent dans les écrits de Al-Yazdi vers 1500. Bizarrement il faut attendre 1867 et un jeune italien de 16 ans, Nicolo Paganini, pour découvrir le deuxième couple amiable, 1184 et 1210.
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