Nombre de diviseurs

Avant de lire cet article pensez à consulter celui sur les nombres parfaits.

Quand on fait la liste des diviseurs d’un nombre, on peut se demander combien on va en trouver.

Nombre	Liste des diviseurs	Nombre de diviseurs
6	1 – 2 – 3 – 6	4
18	1 – 2 – 3 – 6 – 9 18	6
24	1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24	8
28	1 – 2 – 4 – 7 – 14 – 28	6
35	1 – 5 – 7 – 35	4

Pour savoir sans en faire la liste combien un nombre possède de diviseurs, examinons de plus près le cas de 24.

Cette manière d’écrire s’appelle une décomposition en facteurs premiers. Cela revient à écrire un nombre comme produit de nombres premiers ( 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 … )

Maintenant demandons-nous comment on peut construire les diviseurs de

est composé de trois 2 et un 3. On obtient les diviseurs de en effectuant toutes les multiplications possibles entre ces nombres.

Par exemple :

Combien peut-on faire de telles multiplications ?

Dans cette multiplication on peut mettre 0, 1, 2 ou 3 fois le nombre 2. Le nombre 3 lui est présent 0 ou 1 fois.

Il y a donc 4 possibilités pour le nombre 2 et 2 pour le nombre 3.

SI on mélange tout cela fait donc possibilités.

On obtient ainsi une remarquable formule :

Le nombre de diviseurs de est

Un dernier exemple :

Donc possède diviseurs

Vérifions en faisant la liste des diviseurs de :

$latex 1 – 2 – 3 – 5 – 6 – 7 – 10 – 14 – 15 – 21 – 25 – 30 – 35 – 42 – 50 – 70 – 75 – 105 – 150 – 175 – 210 – 350 – 525 – 1050

Génial !